Lý thuyết cực trị của hàm số – Môn Toán

Tóm tắt kiến thức.

1. Định nghĩa 

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x₀ ∈ (a ; b).

– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x), ∀x ∈ (x₀ – h ; x₀ + h), x (neq) x₀ thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x₀ .

– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x), ∀x ∈ (x₀ – h ; x₀ + h), x (neq) x₀ thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x₀ .

2. Định lí 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ – h ; x₀ + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K (setminus){ x₀ }.

Nếu (left{ matrix{f’left( x right) > 0|forall left( {{x_0} – h;,,{x_0}} right) hfill cr f’left( x right) < 0|forall left( {{x_0};,,{x_0} + h} right) hfill cr} right.) thì x là điểm cực đại của hàm số

Nếu (left{ matrix{f’left( x right) < 0|forall left( {{x_0} – h;,,{x_0}} right) hfill cr f’left( x right) > 0|forall left( {{x_0};,,{x_0} + h} right) hfill cr} right.) thì x là điểm cực tiểu của hàm số 

3. Định lí 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x₀ – h ; x₀ + h) (h > 0).

– Nếu f ‘(x) = 0, f ”(x) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f.

– Nếu f ‘(x) = 0, f ”(x) < 0 thì x₀ là điểm cực đại của hàm số f.

4. Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1

– Tìm tập xác định.

– Tính f ‘(x). Tìm các điểm tại đó f ‘(x) bằng 0 hoặc f ‘(x) không xác định.

– Lập bảng biến thiên.

– Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2

– Tìm tập xác định.

– Tính f ‘(x). Tìm các nghiệm (x_{i}) của phương trình f ‘(x)=0.

– Tính f ”(x) và f ”((x_{i})) suy ra tính chất cực trị của các điểm (x_{i}).

(Chú ý: nếu f ”((x_{i}))=0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại (x_{i})).