Bảng Đầy Đủ Nhất Công Thức Nguyên Hàm Từng Phần Để Tìm Nguyên Hàm Toán 12

Bên cạnh phương pháp phân tích, hay phương pháp đổi biến số thì pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định là 1 phương pháp hay nhưng lại làm nhiều em dễ bị nhầm lẫn khi sử dụng phương pháp này.

Đang xem: Công thức nguyên hàm từng phần

Phương pháp nguyên hàm từng phần được sử dụng để tìm tích phân bất định của các hàm phức tạp như hàm vừa chứa hàm lượng giác và hàm vô tỉ, hay hàm vừa chứa hàm vô tỉ và hàm logarit cơ số e, hay hàm mũ e. Trong bài viết này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các dạng toán sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

I. Cách tính tích phân bất định bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

– Nếu 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm và liên tục trên K thì:

*

– Công thức nguyên hàm từng phần viết gọn: 

*

II. Một số dạng toán tính tính phân bất định (tìm nguyên hàm) sử dụng nguyên hàm từng phần

Dạng 1:

*

 hoặc 

*

 hoặc 

*

 trong đó  là đa thức.

* Phương pháp: Đặt 

*

 

*

 hoặc 

*

 hoặc 

*

• Dạng 2: 

*

 hoặc 

*

 trong đó  là đa thức.

* Phương pháp: Đặt 

*

 hoặc 

*

*

Dạng 3: 

*

 hoặc

*

 trong đó 

*

* Phương pháp: Đặt 

*

 hoặc 

*

*

• Lưu ý khi sử dụng nguyên hàm từng phần:

– Ưu tiên đặt u là “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” phần còn lại đặt là dv.

Xem thêm: Công Thức Tính Số Vòng Quay Của Bánh Xe Trong 1 Giờ ? Công Thức Tính Tỉ Số Truyền Mới Nhất 2020

– Đối với nguyên hàm có chứa lượng giác và mũ có thể đặt u và dv theo thứ tự lượng giác – mũ hoặc người lại đều được và phải sử dụng 2 lần tích phân từng phần và phải thống nhất theo cùng thứ tự, nếu không sẽ xảy ra trường hợp đi vòng I = I.

– Số lần thực hiện tích phân từng phần phụ thuộc vào bậc của hàm logarit và đa thức cụ thể:

◊ Nếu trong biểu thức tính nguyên hàm có 

*

 thì phải tính tính phân từng phần n lần.

◊ Nếu trong biểu thức tích phân có đa thức bậc n (không có hàm logarit) thì cũng phải tính tích phân từng phần n lần.

 Ví dụ 1 (áp dụng Dạng 1): Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:

a) 

*

* Lời giải: Đặt 

*

– Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

*

 ⇔

*

b) 

*

* Lời giải: Đặt 

*

– Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

 

*

 

*

 

*

c) 

*

* Lời giải: Đặt 

*

⇒ 

*

 

*

Với 

*

 ta áp dụng tiếp tích phân từng phần với 

 Đặt:

*

⇒ 

*

 

*

– Thay  vào  ta được kết quả: 

 

*

 

*

* Nhận xét: Ta thấy tích phân chứa đa thức bậc 2 (x2) nên ta phải tính tính phân từng phần 2 lần.

Xem thêm: Mgo + Naoh = Na2Mgo2 + H2O, Naoh + Mgo = Mg(Oh)2 + Na2O

d) 

*

* Lời giải: Đặt

*

*

 

*

– Với

*

 ta tiếp tục áp dụng tích phân từng phần cho 

 Đặt:

*

*
*

 

*

– Thế  vào  ta được kết quả:

*

 

*

e) 

* Lời giải: Đối với bài toán này ta cần hạ bậc hàm lượng giác trước để đưa và dạng cơ bản áp dụng tích phân từng phần, ta có:

  

*

 

*

 

*

– Ta có: 

*

 áp dụng tích phân từng phần:

 Đặt: 

*

⇒ 

*

 

*
*

– Thế  vào  ta được kết quả: 

*

 

 Ví dụ 2 (áp dụng Dạng 2): Dùng phương nguyên hàm từng phần tính tích phân bất định của các nguyên hàm sau:

a)

*

* Lời giải: Đặt 

*

*
*

b)

*

 

* Lời giải: Đặt 

*

⇒ 

*

 

*

c)

* Lời giải:

– Ta có:  

*

– Đặt: 

*
*

⇒ 

*

 

*

d) 

* Lời giải:

– Ta có: 

*

– Đặt: 

*
*

*

 

*
*

 Ví dụ 3 (áp dụng dạng 3): Tìm nguyên hàm của các hàm sau:

a) 

*

* Lời giải: Bài toán này sẽ vận dụng linh hoạt tích phân từng phần

– Đặt: 

*

⇒ 

*

– Áp dụng tích phân từng phần cho J

 Đặt: 

*

⇒ 

*

⇒ 

*

*

*

+C

b) 

*

* Lời giải:

– Ta có:

*
*

 

*

 

*

– áp dụng nguyên hàm từng phần với 

*

:

– Đặt: 

*
*

*

 

*

– áp dụng nguyên hàm từng phần với 

*

– Đặt: 

*

⇒ 

*
*

⇒ 

*

 

*

⇒ 

*

⇒ 

*

*

 

*
*

c) 

*

* Lời giải: Bài này áp dụng cả phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm từng phần

– Đặt: 

*

 

*

– Đặt: 

*

– Ta có: 

*
*

– Thay 

*

 ta được: 

*

III. Bài tập tìm nguyên hàm sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Bài 4 trang 103 SGK giải tích 12: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính

a) 

b) 

c) 

d) 

* Lời giải Bài 4 trang 103 SGK giải tích 12:

a) 

– Đặt: 

*

⇒  

*

 

*

 

*

 

*

*

 

*

b) 

– Đặt: 

*

*

 

*
*

– áp dụng nguyên hàm từng phần cho

*

:

– Đặt: 

*

⇒ 

*

 

*

 

*

⇒ 

*

 

*

c) 

– Đặt:

*

 

*

⇒  

*

 

*

d) 

– Đặt: 

*

⇒  

*

 

*

* Bài tập luyện tập phương pháp nguyên hàm

Bài 1: Tính nguyên hàm của các hàm sau:

a)

*

b)

*

c) 

*

d) 

*

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

Bài 3: Xác định nguyên hàm của các hàm sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

Bài 4: Xác định nguyên hàm của các hàm sau:

a) 

*

b) 

*

Hy vọng với bài viết về cách tính tích phân bất định (tìm nguyên hàm) bằng phương pháp tích phân từng phần ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để lize.vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Công thức
READ:  Cao Su Buna Có Công Thức Của Cao Su Buna Từ Than Đá, Đá Vôi Và

Bài viết hay nhất