Đề bài
Cho tam giác đều (ABC) có trọng tâm (O) và (M) là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi (D,E,F) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ (M) đến (BC, AC, AB). Chứng minh rằng:
(overrightarrow {MD} + overrightarrow {ME} + overrightarrow {MF} = {3 over 2}overrightarrow {MO} )
Lời giải chi tiết
Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác
A1B1 // AB; A2C2 // AC; B2C1 // BC.
Dễ thấy các tam giác MB1C2; MA1C1;MA2B2 đều là các tam giác đều. Ta lại có MD B1C2 nên MD cũng là trung điểm thuộc cạnh B1C2 của tam giác MB1C2
Ta có 2 =
+
Tương tự: 2 =
+
2 =
+
=> 2( +
+
) = (
+
) + (
+
) + (
+
)
Tứ giác là hình bình hành nên
+
=
Tương tự: +
=
+
=
=> 2( +
+
) =
+
+
vì O là trọng tâm bất kì của tam giác và M là một điểm bất kì nên
+
+
= 3
.
Cuối cùng ta có:
2( +
+
) = 3
;
=> +
+
=
Mẹo Tìm đáp án nhanh nhất
Search google: “từ khóa + timdapan.com”
Ví dụ: “Bài 9 trang 17 SGK Hình học 10 timdapan.com”