Bài 75 trang 106 SGK Toán 8 tập 1 – Môn Toán

Đề bài

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.

Lời giải chi tiết

Giả sử hình chữ nhật (ABCD) có (E,F,G,H) lần lượt là trung điểm của (AB,BC,CD,DA)

Bốn tam giác vuông (EAH, EBF, GDH, GCF) có:

(AE = BE = DG = CG) ( = (dfrac{1}{2}AB) = (dfrac{1}{2}CD) )

(HA = FB = DH = CF) ( = (dfrac{1}{2}AD = dfrac{1}{2}BC) )

Xét  (∆EAH) và (∆EBF) có:

(left{ begin{array}{l}
A{rm{E}} = BEleft( {cmt} right)\
widehat A = widehat B = {90^0}left( {gt} right)\
AH = BFleft( {cmt} right)
end{array} right.)

( Rightarrow Delta AHE = Delta BEFleft( {c – g – c} right))

( Rightarrow ) (EH = EF ) (2 cạnh tương ứng) (1)

Xét  (∆HDG) và (∆FCG) có:

(left{ begin{array}{l}
H{rm{D}} = FCleft( {cmt} right)\
widehat D = widehat C = {90^0}left( {gt} right)\
DG = CGleft( {cmt} right)
end{array} right.)

( Rightarrow Delta HDG = Delta FCGleft( {c – g – c} right))

( Rightarrow ) (GH = GF ) (2 cạnh tương ứng) (2)

Xét  (∆AHE) và (∆DHG) có:

(left{ begin{array}{l}
H{rm{A}} = HDleft( {cmt} right)\
widehat A = widehat D = {90^0}left( {gt} right)\
AE = DGleft( {cmt} right)
end{array} right. )

(Rightarrow Delta AHE = Delta DHGleft( {c – g – c} right))

( Rightarrow ) (EH = HG ) (2 cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) ( Rightarrow  HE=EF = HG = GF) 

( Rightarrow ) (EFGH) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

(Trong đó: “cmt” là chứng minh trên)