Bài 5 trang 18 SGK Giải tích 12 – Môn Toán

Đề bài

Tìm (a) và (b) để các cực trị của hàm số

(y=dfrac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b)

đều là những số dương và (x_{0}=-dfrac{5}{9}) là điểm cực đại.

Lời giải chi tiết

Ta có: (y’ = 5{a^2}{x^2} + 4ax – 9), (y” = 10{a^2}x + 4a).

Hàm số đã cho đạt cực đại tại ({x_0} =  – dfrac{5}{9}) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y’left( { – dfrac{5}{9}} right) = 0\y”left( { – dfrac{5}{9}} right) < 0end{array} right.) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}5{a^2}.{left( { – dfrac{5}{9}} right)^2} + 4a.left( { – dfrac{5}{9}} right) – 9 = 0\10{a^2}.left( { – dfrac{5}{9}} right) + 4a < 0end{array} right.) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}dfrac{{125{a^2}}}{{81}} – dfrac{{20a}}{9} – 9 = 0\ – dfrac{{50{a^2}}}{9} + 4a < 0end{array} right.) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = dfrac{{81}}{{25}},a =  – dfrac{9}{5}\a < 0,a > dfrac{{18}}{{25}}end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}a = dfrac{{81}}{{25}}\a =  – dfrac{9}{5}end{array} right.)

Ta có: (y’ = 5{a^2}{x^2} + 4ax – 9) có (Delta ‘ = 49{a^2} > 0) với (a ne 0) nên phương trình (y’ = 0) luôn có hai nghiệm phân biệt({x_1} = dfrac{1}{a},{x_2} =  – dfrac{9}{{5a}}).

Hàm số đã cho có các cực trị đều dương ( Leftrightarrow {y_{CT}} > 0).

Với (a = dfrac{{81}}{{25}}) thì ({x_1} = dfrac{{25}}{{81}},{x_2} =  – dfrac{5}{9}).

Do đó ({y_{CT}} = yleft( {dfrac{{25}}{{81}}} right)) ( = dfrac{5}{3}.{left( {dfrac{{81}}{{25}}} right)^2}.{left( {dfrac{{25}}{{81}}} right)^3} + 2.dfrac{{81}}{{25}}.{left( {dfrac{{25}}{{81}}} right)^2} – 9.dfrac{{25}}{{81}} + b > 0)( Leftrightarrow b > dfrac{{400}}{{243}})

Với (a =  – dfrac{9}{5}) thì ({x_1} =  – dfrac{5}{9},{x_2} = 1).

Do đó ({y_{CT}} = yleft( 1 right)) ( = dfrac{5}{3}.{left( { – dfrac{9}{5}} right)^2}{.1^3} + 2.left( { – dfrac{9}{5}} right){.1^2} – 9.1 + b > 0) ( Leftrightarrow b > dfrac{{36}}{5}).

Vậy các giá trị (a, b) cần tìm là: (left{begin{matrix} a=-dfrac{9}{5} & \ b>dfrac{36}{5} & end{matrix}right.) hoặc (left{begin{matrix} a=dfrac{81}{25} & \ b>dfrac{400}{243} & end{matrix}right.).