Bài 3 trang 80 SGK Hình học 10 – Môn Toán

Cho tam giác (ABC), biết (A(1; 4), B(3; -1)) và (C(6; 2).)

LG a

Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng (AB, BC), và (CA.)

Phương pháp giải:

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (A,B):

+ Tìm tọa độ (overrightarrow {AB} ) suy ra VTPT của (AB).

+ PTTQ: (aleft( {x – {x_0}} right) + bleft( {y – {y_0}} right) = 0)

Lời giải chi tiết:

+) Phương trình (AB).

Ta có: (overrightarrow {AB}  = left( {2; – 5} right))

Đường thẳng (AB) nhận (overrightarrow {AB}  = left( {2; – 5} right)) làm VTCP nên nhận (overrightarrow {{n_1}}  = left( {5;2} right)) làm VTPT

Mà (AB) đi qua (Aleft( {1;4} right)) nên PTTQ: (5left( {x – 1} right) + 2left( {y – 4} right) = 0) hay (5x + 2y – 13 = 0)

+) Phương trình (AC).

Ta có: (overrightarrow {AC}  = left( {5; – 2} right))

Đường thẳng (AC) nhận (overrightarrow {AC}  = left( {5; – 2} right)) làm VTCP nên nhận (overrightarrow {{n_2}}  = left( {2;5} right)) làm VTPT

Mà (AC) đi qua (Aleft( {1;4} right)) nên PTTQ: (2left( {x – 1} right) + 5left( {y – 4} right) = 0) hay (2x + 5y – 22 = 0)

+) Phương trình (BC).

Ta có: (overrightarrow {BC}  = left( {3;3} right))

Đường thẳng (BC) nhận (overrightarrow {BC}  = left( {3;3} right) = 3left( {1;1} right)) làm VTCP nên nhận (overrightarrow {{n_3}}  = left( {1; – 1} right)) làm VTPT

Mà (BC) đi qua (Bleft( {3; – 1} right)) nên PTTQ: (1left( {x – 3} right) – 1left( {y + 1} right) = 0) hay (x – y – 4 = 0)

Cách khác:

Phương trình đường thẳng (AB:  dfrac{x-1}{3-1}=dfrac{y-4}{-1-4})

(Leftrightarrow  dfrac{x-1}{2}=dfrac{y-4}{-5} Leftrightarrow 5x+2y-13=0. )

Tương tự ta có:

phương trình đường thẳng (BC: x – y -4 = 0)

phương trình đường thẳng (CA: 2x + 5y -22 = 0)

LG b

Lập phương trình tổng quát của đường cao (AH) và trung tuyến (AM.)

Phương pháp giải:

+) Đường cao AH là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC  hay nhận VTCP của BC là VTPT.

+) Đường trung tuyến AM là đường thẳng đi qua A và trung điểm M của BC.

Lời giải chi tiết:

Đường cao (AH) là đường thẳng đi qua (A(1; 4)) và vuông góc với (BC).

(vec{BC} = (3; 3)) (Rightarrow vec{AH}  ⊥ vec{BC}) nên (vec{AH}) nhận vectơ  (vec{n} = (3; 3)) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát:

(AH : 3(x – 1) + 3(y -4) = 0)

(Leftrightarrow 3x + 3y – 15 = 0)

(Leftrightarrow x + y – 5 = 0)

Gọi (M) là trung điểm (BC) ta có (M (dfrac{9}{2}; dfrac{1}{2}))

( Rightarrow overrightarrow {AM}  = left( {dfrac{7}{2}; – dfrac{7}{2}} right) = dfrac{7}{2}left( {1; – 1} right))

Trung tuyến (AM) là đường thẳng đi qua điểm (A(1;4)) và nhận (overrightarrow {u_4}   = dfrac{2}{7}overrightarrow {AM} = left( {1; – 1} right)) làm VTCP nên nhận (overrightarrow {{n_4}}  = left( {1;1} right)) làm VTPT

PTTQ: (1left( {x – 1} right) + 1left( {y – 4} right) = 0) hay ( x + y – 5 = 0).