Bài 2 trang 30 SGK Giải tích 12 – Môn Toán

LG a

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

(y=dfrac{2-x}{9-x^2})

Phương pháp giải:

– Đường thẳng (y=y_0) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = fleft( x right)) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: (mathop {lim }limits_{x to  + infty } fleft( x right) = {y_0};,,mathop {lim }limits_{x to  – infty } fleft( x right) = {y_0}).

– Đường thẳng (x=x_0) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (y = fleft( x right)) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

(begin{array}{l}mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } fleft( x right) = + infty ;,,mathop {lim }limits_{x to x_0^ – } fleft( x right) = – infty \mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } fleft( x right) = – infty ;,,mathop {lim }limits_{x to x_0^ – } fleft( x right) = + infty end{array})

Lời giải chi tiết:

TXĐ: (D = Rbackslash left{ { pm 3} right})

(mathop {lim }limits_{xrightarrow (-3)^+}dfrac{2-x}{9-x^2}=+infty) nên đường thẳng (x=-3) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

(mathop {lim }limits_{xrightarrow 3^+}dfrac{2-x}{9-x^2}=+infty) nên đường thẳng (x=3) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

(mathop {lim }limits_{xrightarrow +infty }dfrac{2-x}{9-x^2}=0) nên đường thẳng: (y = 0) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

LG b

(y=dfrac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2})

Lời giải chi tiết:

TXĐ: (D = Rbackslash left{ { – 1;dfrac{3}{5}} right})

(begin{array}{l} mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ + }} dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = + infty ;\mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ – }} dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – infty \ mathop {lim }limits_{x to {{left( {dfrac{3}{5}} right)}^ + }} dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – infty ;\ mathop {lim }limits_{x to {{left( {dfrac{3}{5}} right)}^ – }} dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = + infty end{array})

Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: (x=-1;x=dfrac{3}{5}).

Vì: (mathop {lim }limits_{x to – infty } dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – dfrac{1}{5};) ( mathop {lim }limits_{x to + infty } dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – dfrac{1}{5})

Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng (y=-dfrac{1}{5}).

LG c

(y=dfrac{x^2-3x+2}{x+1})

Lời giải chi tiết:

TXĐ: (D = Rbackslash left{ { – 1} right})

(mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ – }} dfrac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x + 1}} = – infty 😉 (mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ +}} dfrac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x + 1}} = + infty) nên đường thẳng (x=-1) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

(underset{xrightarrow -infty }{lim}dfrac{x^{2}-3x+2}{x+1}=underset{xrightarrow -infty }{lim}dfrac{x^2(1-dfrac{3}{x}+dfrac{2}{x^{2}})}{x(1+dfrac{1}{x})}=-infty) và (underset{xrightarrow +infty }{lim}dfrac{x^{2}-3x+2}{x+1}=+infty) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

LG d

(y=dfrac{sqrt {x}+1}{sqrt {x}-1})

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định khi: (left{begin{matrix} xgeq 0\ sqrt{x}-1neq 0 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} xgeq 0\ xneq 1 end{matrix}right.)

( Rightarrow D = left[ {0; + infty } right)backslash left{ 1 right})

Vì (mathop {lim }limits_{xrightarrow 1^-}dfrac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1}=-infty) nên đường thẳng (x = 1) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì (mathop {lim }limits_{xrightarrow +infty }dfrac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1}=mathop {lim }limits_{xrightarrow +infty }dfrac{sqrt{x}(1+dfrac{1}{sqrt{x}})}{sqrt{x}(1-dfrac{1}{sqrt{x}})}=1) nên đường thẳng (y = 1) là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chú ý: Có thể sử dụng MTCT để tính toán các giới hạn.