Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

1. Góc giữa hai vectơ

Cho (vec u) và (vec v) là hai vectơ trong không gian. Từ một điểm A bất kì vẽ (overrightarrow {AB} = overrightarrow u ,overrightarrow {AC} = overrightarrow v). Khi đó ta gọi góc (widehat {BAC}(0 le widehat {BAC} le {180^0})) là góc giữa hai vecto vectơ (vec u) và (vec v), kí hiệu là (left ( vec u ;vec v right )). Ta có: (left ( vec u ;vec v right )=widehat {BAC}).

Góc giữa hai vecto

2. Tích vô hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ (vec u) và (vec v) đều khác vectơ-không là một số được kí hiệu là (vec u .vec v) xác dịnh bởi:

(vec u.vec v = left| {vec u} right|.left| {vec v} right|.cos (overrightarrow u .vec v))

Nếu (vec u= vec0) hoặc (vec v= vec0) thì ta quy ước 

(vec u.vec v=0.)

b) Tính chất tích vô hướng của hai vectơ

Với ba vectơ (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c) trong không gian và với mọi số k ta có:

  • (overrightarrow a .overrightarrow b = overrightarrow b .overrightarrow a) (tính chất giao hoán).
  • (overrightarrow a (overrightarrow b + overrightarrow c ) = overrightarrow a .overrightarrow b + overrightarrow a .overrightarrow c) (tính chất phân phối).
  • ((k.overrightarrow a ).overrightarrow b = k.(overrightarrow a .overrightarrow b ) = overrightarrow a .koverrightarrow b .)
  • ({overrightarrow a ^2} ge 0,{overrightarrow a ^2} = 0 Leftrightarrow overrightarrow a = overrightarrow 0.)
READ:  Xã hội phong kiến Tây Âu - Lịch Sử

c) Ứng dụng của tích vô hướng

Xác định góc giữa hai vectơ (vec u) và (vec v) bằng (cos (overrightarrow u .vec v)) theo công thức: 

(cos (overrightarrow u .vec v) = frac{{vec u.vec v}}{{left| {vec u} right|left| {vec v} right|}})   

3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ (overrightarrow a ne overrightarrow 0) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ (overrightarrow a) song song hoặc trùng với đường thẳng d.

Vecto chỉ phương của đường thẳng

Nếu (overrightarrow a) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ (koverrightarrow a) với (k ne 0) cũng là một vectơ chỉ phương của d.

Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định được nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương (overrightarrow a) của d.

4. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm bất kì lần lượt song song với a và b.

góc giữa hai đường thẳng

5. Hai đường thẳng vuông góc

a) Định nghĩa

Hai đường thẳng a và b gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90.

Ta kí hiệu là: (b bot a) hoặc (a bot b.)

b) Tính chất

  • Nếu (vec u) và (vec v) lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: (a bot b Leftrightarrow overrightarrow u .overrightarrow v = 0.)
  • Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
  • Hai đường thẳng vuông góc nhau thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

6. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

READ:  Văn bản báo cáo - Soạn văn siêu ngắn

a) (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {EG} .)

c) (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {DH}).

Hướng dẫn giải:

Hình lập phương ABCD.EFGH

a) Vì EG // AC nên góc giữa 

(overrightarrow {AB} ,overrightarrow {EG}) cũng bằng góc giữa 

(overrightarrow {AB}) và (overrightarrow {AC})

Vậy (left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {EG} } right) = left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} } right) = {45^0}.)

b)  Vì AB // DG nên góc giữa (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {DH}) cũng bằng góc giữa (overrightarrow {DC}) và (overrightarrow {DH})

Vậy (left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {DH} } right) = left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {DH} } right) = {45^0}.)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và có (widehat {{rm{ASB}}} = widehat {BSC} = widehat {CSA}.)

Chứng minh rằng: (SA bot BC, SBbot AC, SC bot AB.)

Hướng dẫn giải:

Xét các tích vô hướng: 

(overrightarrow {SA} .overrightarrow {BC} ,overrightarrow {SB} .overrightarrow {AC} ,overrightarrow {SC} .overrightarrow {AB} .)

Ta có: 

(begin{array}{*{20}{l}}
begin{array}{l}
overrightarrow {SA} .overrightarrow {BC}  = overrightarrow {SA} .(overrightarrow {SC}  – overrightarrow {SB} )\
 = overrightarrow {SA} .overrightarrow {SC}  – overrightarrow {SA} .overrightarrow {SB} 
end{array}\
begin{array}{l}
 = left| {overrightarrow {SA} } right|.left| {overrightarrow {SC} } right|.cos widehat {CSA}\
,,,,,,,,, – left| {overrightarrow {SA} } right|.left| {overrightarrow {SB} } right|cos widehat {ASB}
end{array}
end{array})

Theo giá thuyết: (left| {overrightarrow {SB} } right| = left| {overrightarrow {SC} } right|)

Và: (cos widehat {CSA} = cos widehat {ASB} Rightarrow overrightarrow {SA} .overrightarrow {BC}  = 0)

Vậy: (SA bot BC.)

Chứng minh tương tự ta có: 

(SBbot AC, SC bot AB.)

Ví dụ 3:

Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Ta có: (overrightarrow {PQ} = overrightarrow {PA} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {CQ})  

Và: (overrightarrow {PQ} = overrightarrow {PB} + overrightarrow {BD} + overrightarrow {DQ})  

READ:  Bài 25: Tự cảm - Tìm đáp án, giải bài tập, để học tốt

Do đó: (2overrightarrow {PQ} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD})  

Vậy: (2.overrightarrow {PQ} .overrightarrow {AB} = left( {overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} } right).overrightarrow {AB})

(= overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB} + overrightarrow {BD} .overrightarrow {AB} = 0)

Hay (overrightarrow {PQ} .overrightarrow {AB} = 0) Tức là: (PQ bot AB.)

Ví dụ 4:

Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, (widehat {BAC} = widehat {BAD} = {60^0}.).

a) Chứng minh rằng AB vuông góc CD.

b) Nếu I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì (AB bot IJ.)  

Hướng dẫn giải:

Tứ diện ABCD

a) Ta có:

(begin{array}{*{20}{l}}
begin{array}{l}
overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC}  = overrightarrow {AB} left( {overrightarrow {AD}  – overrightarrow {AC} } right)\
 = overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD}  – overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} 
end{array}\
begin{array}{l}
 = left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AD} } right|.cos BAD\
,,,, – left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|.cos BAC
end{array}
end{array})

Mặt khác ta có: 

(AB = AC = AD,widehat {BAC} = widehat {BAD})

Do đó:

(begin{array}{l}
overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC}  = left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AD} } right|.cos BAD\
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, – left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|.cos BAC = 0
end{array})

Vậy AB vuông góc với CD.

b) Do I, J là trung điểm của AB và CD nên ta có: (overrightarrow {IJ} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} } right))

Do đó: 

(begin{array}{*{20}{l}}
begin{array}{l}
overrightarrow {AB} .overrightarrow {IJ}  = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD}  + overrightarrow {AB} overrightarrow {BC} } right)\
 = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD}  + overrightarrow {AB} overrightarrow {BA}  + overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right)
end{array}\
begin{array}{l}
 = frac{1}{2}(left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AD} } right|cos {60^0} – {overrightarrow {AB} ^2}\
,,,,,,,,,,,, + left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|cos {60^0})
end{array}\
{ = frac{1}{2}left( {frac{1}{2}{a^2} – {a^2} + frac{1}{2}{a^2}} right) = 0}
end{array})

Vậy AB và IJ vuông góc nhau.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Đáp án

Khuyễn Mãi Hot

Bài viết hay nhất

Hno3 Loãng Không Tác Dụng Với Kim Loại Nào, Khi Kim Loại Tác Dụng Với Hno3:
Hno3 Loãng Không Tác Dụng Với Kim Loại Nào, Khi Kim Loại Tác Dụng Với Hno3:
Tổng Hợp Các Công Thức Toán Lớp 5, Tổng Hợp Công Thức Toán Tiểu Học
Tổng Hợp Các Công Thức Toán Lớp 5, Tổng Hợp Công Thức Toán Tiểu Học
Stt Thả Thính Bằng Môn Lý – Thả Thính Bằng Môn Học Bá Nhất Quả Đất
Stt Thả Thính Bằng Môn Lý – Thả Thính Bằng Môn Học Bá Nhất Quả Đất
Công Thức Tính Cạnh Tam Giác Thường, Và Tam Giác Vuông, Định Lý Cos
Công Thức Tính Cạnh Tam Giác Thường, Và Tam Giác Vuông, Định Lý Cos
Khái Niệm Và Công Thức Tính Lực Căng Dây Lớp 10, Vật Lý 10 Công Thức Tính Nhanh
Khái Niệm Và Công Thức Tính Lực Căng Dây Lớp 10, Vật Lý 10 Công Thức Tính Nhanh
Công Thức Tính Chiều Cao Hình Tam Giác Lớp 5, Kiến Thức Trọng Tâm Diện Tích Tam Giác Toán Lớp 5
Công Thức Tính Chiều Cao Hình Tam Giác Lớp 5, Kiến Thức Trọng Tâm Diện Tích Tam Giác Toán Lớp 5
Các Công Thức Tính Điện Lượng Lớp 11, Công Thức Vật Lý Lớp 11
Các Công Thức Tính Điện Lượng Lớp 11, Công Thức Vật Lý Lớp 11
Một số bạn đang đua đòi theo lối ăn mặc không lành mạnh không phù hợp với lứa tuổi học sinh hãy nghị luận thuyết phục các bạn ăn mặc sao cho phù hợp – Bài văn mẫu lớp 7 | Lize.vn
20 Đoạn văn viết về Tết bằng tiếng Anh hay & ngắn gọn – Hướng dẫn viết đoạn văn nói về Tết bằng tiếng Anh | Lize.vn
Nghị luận xã hội 200 chữ bàn về lạc quan – Dàn ý + 10 Bài văn mẫu nghị luận bàn về lạc quan | Lize.vn
Bảng Công Thức Sin Cos, Tan, Cot Đầy Đủ, Công Thức Lượng Giác Sin, Cos, Tan, Cot Đầy Đủ
Bảng Công Thức Sin Cos, Tan, Cot Đầy Đủ, Công Thức Lượng Giác Sin, Cos, Tan, Cot Đầy Đủ
Công Thức Tính Định Mức Trong Excel ? Hướng Dẫn Các Cách Tính Vượt Định Mức Trong Excel
Công Thức Tính Định Mức Trong Excel ? Hướng Dẫn Các Cách Tính Vượt Định Mức Trong Excel
Công Thức Tính Cạnh Hình Vuông Toán Lớp 3, 4 Nâng Cao, Cách Để Tính Chu Vi Hình Vuông
Công Thức Tính Cạnh Hình Vuông Toán Lớp 3, 4 Nâng Cao, Cách Để Tính Chu Vi Hình Vuông
Nacl + H2O Không Màng Ngăn, Điện Phân Dung Dịch Nacl Không Màng Ngăn
Nacl + H2O Không Màng Ngăn, Điện Phân Dung Dịch Nacl Không Màng Ngăn
Điện Hóa Trị Là Gì – Điện Hóa Trị Của Kali Trong Kcl Là
Điện Hóa Trị Là Gì – Điện Hóa Trị Của Kali Trong Kcl Là