Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

1. Góc giữa hai vectơ

Cho (vec u) và (vec v) là hai vectơ trong không gian. Từ một điểm A bất kì vẽ (overrightarrow {AB} = overrightarrow u ,overrightarrow {AC} = overrightarrow v). Khi đó ta gọi góc (widehat {BAC}(0 le widehat {BAC} le {180^0})) là góc giữa hai vecto vectơ (vec u) và (vec v), kí hiệu là (left ( vec u ;vec v right )). Ta có: (left ( vec u ;vec v right )=widehat {BAC}).

2. Tích vô hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ (vec u) và (vec v) đều khác vectơ-không là một số được kí hiệu là (vec u .vec v) xác dịnh bởi:

(vec u.vec v = left| {vec u} right|.left| {vec v} right|.cos (overrightarrow u .vec v))

Nếu (vec u= vec0) hoặc (vec v= vec0) thì ta quy ước 

(vec u.vec v=0.)

b) Tính chất tích vô hướng của hai vectơ

Với ba vectơ (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c) trong không gian và với mọi số k ta có:

• (overrightarrow a .overrightarrow b = overrightarrow b .overrightarrow a) (tính chất giao hoán).
• (overrightarrow a (overrightarrow b + overrightarrow c ) = overrightarrow a .overrightarrow b + overrightarrow a .overrightarrow c) (tính chất phân phối).
• ((k.overrightarrow a ).overrightarrow b = k.(overrightarrow a .overrightarrow b ) = overrightarrow a .koverrightarrow b .)
• ({overrightarrow a ^2} ge 0,{overrightarrow a ^2} = 0 Leftrightarrow overrightarrow a = overrightarrow 0.)

c) Ứng dụng của tích vô hướng

Xác định góc giữa hai vectơ (vec u) và (vec v) bằng (cos (overrightarrow u .vec v)) theo công thức: 

(cos (overrightarrow u .vec v) = frac{{vec u.vec v}}{{left| {vec u} right|left| {vec v} right|}})   

3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ (overrightarrow a ne overrightarrow 0) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ (overrightarrow a) song song hoặc trùng với đường thẳng d.

Nếu (overrightarrow a) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ (koverrightarrow a) với (k ne 0) cũng là một vectơ chỉ phương của d.

Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định được nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương (overrightarrow a) của d.

4. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm bất kì lần lượt song song với a và b.

5. Hai đường thẳng vuông góc

a) Định nghĩa

Hai đường thẳng a và b gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90.

Ta kí hiệu là: (b bot a) hoặc (a bot b.)

b) Tính chất

• Nếu (vec u) và (vec v) lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: (a bot b Leftrightarrow overrightarrow u .overrightarrow v = 0.)
• Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
• Hai đường thẳng vuông góc nhau thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

6. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a) (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {EG} .)

c) (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {DH}).

Hướng dẫn giải:

a) Vì EG // AC nên góc giữa 

(overrightarrow {AB} ,overrightarrow {EG}) cũng bằng góc giữa 

(overrightarrow {AB}) và (overrightarrow {AC})

Vậy (left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {EG} } right) = left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} } right) = {45^0}.)

b)  Vì AB // DG nên góc giữa (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {DH}) cũng bằng góc giữa (overrightarrow {DC}) và (overrightarrow {DH})

Vậy (left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {DH} } right) = left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {DH} } right) = {45^0}.)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và có (widehat {{rm{ASB}}} = widehat {BSC} = widehat {CSA}.)

Chứng minh rằng: (SA bot BC, SBbot AC, SC bot AB.)

Hướng dẫn giải:

Xét các tích vô hướng: 

(overrightarrow {SA} .overrightarrow {BC} ,overrightarrow {SB} .overrightarrow {AC} ,overrightarrow {SC} .overrightarrow {AB} .)

Ta có: 

(begin{array}{*{20}{l}}
begin{array}{l}
overrightarrow {SA} .overrightarrow {BC}  = overrightarrow {SA} .(overrightarrow {SC}  – overrightarrow {SB} )\
 = overrightarrow {SA} .overrightarrow {SC}  – overrightarrow {SA} .overrightarrow {SB} 
end{array}\
begin{array}{l}
 = left| {overrightarrow {SA} } right|.left| {overrightarrow {SC} } right|.cos widehat {CSA}\
,,,,,,,,, – left| {overrightarrow {SA} } right|.left| {overrightarrow {SB} } right|cos widehat {ASB}
end{array}
end{array})

Theo giá thuyết: (left| {overrightarrow {SB} } right| = left| {overrightarrow {SC} } right|)

Và: (cos widehat {CSA} = cos widehat {ASB} Rightarrow overrightarrow {SA} .overrightarrow {BC}  = 0)

Vậy: (SA bot BC.)

Chứng minh tương tự ta có: 

(SBbot AC, SC bot AB.)

Ví dụ 3:

Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Ta có: (overrightarrow {PQ} = overrightarrow {PA} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {CQ})  

Và: (overrightarrow {PQ} = overrightarrow {PB} + overrightarrow {BD} + overrightarrow {DQ})  

Do đó: (2overrightarrow {PQ} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD})  

Vậy: (2.overrightarrow {PQ} .overrightarrow {AB} = left( {overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} } right).overrightarrow {AB})

(= overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB} + overrightarrow {BD} .overrightarrow {AB} = 0)

Hay (overrightarrow {PQ} .overrightarrow {AB} = 0) Tức là: (PQ bot AB.)

Ví dụ 4:

Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, (widehat {BAC} = widehat {BAD} = {60^0}.).

a) Chứng minh rằng AB vuông góc CD.

b) Nếu I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì (AB bot IJ.)  

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

(begin{array}{*{20}{l}}
begin{array}{l}
overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC}  = overrightarrow {AB} left( {overrightarrow {AD}  – overrightarrow {AC} } right)\
 = overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD}  – overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} 
end{array}\
begin{array}{l}
 = left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AD} } right|.cos BAD\
,,,, – left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|.cos BAC
end{array}
end{array})

Mặt khác ta có: 

(AB = AC = AD,widehat {BAC} = widehat {BAD})

Do đó:

(begin{array}{l}
overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC}  = left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AD} } right|.cos BAD\
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, – left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|.cos BAC = 0
end{array})

Vậy AB vuông góc với CD.

b) Do I, J là trung điểm của AB và CD nên ta có: (overrightarrow {IJ} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} } right))

Do đó: 

(begin{array}{*{20}{l}}
begin{array}{l}
overrightarrow {AB} .overrightarrow {IJ}  = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD}  + overrightarrow {AB} overrightarrow {BC} } right)\
 = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD}  + overrightarrow {AB} overrightarrow {BA}  + overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right)
end{array}\
begin{array}{l}
 = frac{1}{2}(left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AD} } right|cos {60^0} – {overrightarrow {AB} ^2}\
,,,,,,,,,,,, + left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|cos {60^0})
end{array}\
{ = frac{1}{2}left( {frac{1}{2}{a^2} – {a^2} + frac{1}{2}{a^2}} right) = 0}
end{array})

Vậy AB và IJ vuông góc nhau.