Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng (a) và (b) trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với (a) và (b):

Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả (a) và (b,) khi đó theo kết quả   tronh hình học phẳng ta có ba khả năng sau:

  • (a) và (b) cắt nhau tại điểm (M), ta kí hiệu (a cap b = M.)
  • (a) và (b) song song với nhau, ta kí hiệu (a//b).
  • (a) và (b) trùng nhau, ta kí hiệu (a equiv b).

Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả (a) và (b), khi đó ta nói (a) và (b) là hai đường thẳng chéo nhau.

2. Các định lí và tính chất

  • Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng (a) có một và chỉ một đường thẳng song song với (a).
  • Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
  • Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
  • Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.

Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

3. Bài toán Tìm giao tuyến của hai mặt bằng quan hệ song song

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng (left( alpha  right)) và (left( beta  right)) có điểm chung (M)và lần lượt chứa hai đường thẳng song song (d) và (d’) thì giao tuyến của (left( alpha  right)) và (left( beta  right)) là đường thẳng đi qua (M) song song với (d) và (d’).

READ:  Bài 7. Các nhân tố ảnh hưởng đến sự phát triển và phân bố nông nghiệp

Ví dụ:

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình thang với các cạnh đáy là (AB) và (CD). Gọi (I,J) lần lượt là trung điểm của các cạnh (AD) và (BC) và (G) là trọng tâm của tam giác (SAB).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (left( {SAB} right)) và (left( {IJG} right)).

b) Tìm điều kiện của (AB) và (CD) để thiết diện của (left( {IJG} right)) và hình chóp là một hình bình hành.

Hướng dẫn:

a) Ta có (ABCD) là hình thang và (I,J) là trung điểm của (AD,BC) nên (IJ//AB).

Vậy (left{ begin{array}{l}G in left( {SAB} right) cap left( {IJG} right)\AB subset left( {SAB} right)\IJ subset left( {IJG} right)\A//IJend{array} right.)

( Rightarrow left( {SAB} right) cap left( {IJG} right) = MN//IJ//AB) với

(M in SA,N in SB).

b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác (MNJI).

Do (G) là trọng tâm tam giác (SAB) và

(M//AB) nên (frac{{MN}}{{AB}} = frac{{SG}}{{SE}} = frac{2}{3})

((E) là trung điểm của (AB)).

( Rightarrow MN = frac{2}{3}AB).

Lại có (IJ = frac{1}{2}left( {AB + CD} right)). Vì (MN//IJ) nên (MNIJ) là hình thang, do đó (MNIJ) là hình bình hành khi (MN = IJ)

( Leftrightarrow frac{2}{3}AB = frac{1}{2}left( {AB + CD} right) Leftrightarrow AB = 3CD).

Vậy thiết diện là hình bình hành khi (AB = 3CD).

4. Bài toán Chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau:

  • Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng.
  • Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba.
  • Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
  • Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.

Ví dụ:

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là một hình thang với đáy lớn (AB). Gọi (M,N) lần lượt là trung điểm của (SA) và (SB).

a) Chứng minh MN // CD.

b) Gọi (P) là giao điểm của (SC) và (left( {ADN} right)), (I) là giao điểm của (AN) và (DP). Chứng minh SI // CD.

READ:  Bài 17: Cấu trúc di truyền và quần thể (tiếp theo)

Hướng dẫn:

a) Ta có (MN) là đường trung bình của tam giác (SAB) nên (MN//AB).

Lại có (ABCD) là hình thang ( Rightarrow AB//CD).

Vậy (left{ begin{array}{l}MN//AB\CD//ABend{array} right. Rightarrow MN//CD).

b) Trong (left( {ABCD} right)) gọi (E = AD cap BC), trong (left( {SCD} right)) gọi (P = SC cap EN).

Ta có (E in AD subset left( {ADN} right)) ( Rightarrow EN subset left( {AND} right) Rightarrow P in left( {ADN} right)).

Vậy (P = SC cap left( {ADN} right)).

Do (I = AN cap DP Rightarrow left{ begin{array}{l}I in AN\I in DPend{array} right. )

(Rightarrow left{ begin{array}{l}I in left( {SAB} right)\I in left( {SCD} right)end{array} right. Rightarrow SI = left( {SAB} right) cap left( {SCD} right)).

Ta có (left{ begin{array}{l}AB subset left( {SAB} right)\CD subset left( {SCD} right)\AB//CD\left( {SAB} right) cap left( {SCD} right) = SIend{array} right. Rightarrow SI//CD).

5. Bài toán Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng qui

Phương pháp:

Để chứng minh bốn điểm (A,B,C,D) đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng (a,b) lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh (a,b) song song hoặc cắt nhau, khi đó (A,B,C,D) thuộc (mpleft( {a,b} right)).

Để chứng minh ba đường thẳng (a,b,c)đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh (a,b,c) lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng (left( alpha  right),left( beta  right),left( delta  right)) trong đó có hai giao tuyến cắt nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được (a,b,c) đồng qui.

Ví dụ 1:

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là một tứ giác lồi. Gọi (M,N,E,F) lần lượt là trung điểm của các cạnh bên (SA,SB,SC) và (SD).

a) Chứng minh (ME,NF,SO) đồng quy.

b) Chứng minh (M, N, E, F) đồng phẳng.

Hướng dẫn:

a) Trong (left( {SAC} right)) gọi (I = ME cap SO), dễ thấy (I) là trung điểm của (SO), suy ra (FI) là đường trung bình của tam giác (SOD).

Vậy (FI//OD).       

Tương tự ta có (NI//OB) nên (N,I,F) thẳng hàng hay (I in NF).

Vậy (ME,NF,SO) đồng qui.

b) Do (ME cap NF = I) nên (ME) và (NF) xác định một mặt phẳng.

Suy ra (M,N,E,F) đồng phẳng.

6. Bài tập Ôn tập

Bài 1:

Cho hình chóp (S.ABC). Gọi ({G_1},{G_2}) lần lượt là trọng tâm các tam giác (SBC) và (SAB).

a) Chứng minh ({G_1}{G_2}//AC).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (left( {B{G_1}{G_2}} right)) và (left( {ABC} right)).

READ:  A Closer Look 1 trang 8 Unit 7 Tiếng Anh 7 mới tập 2

Hướng dẫn:

 

a) Gọi (M,N) lần lượt là trung điểm của (AB,BC).

Do ({G_1},{G_2}) là trọng tâm các tam giác (SBC) và (SAB) nên (frac{{S{G_1}}}{{SN}} = frac{2}{3},frac{{S{G_2}}}{{SM}} = frac{2}{3})( Rightarrow frac{{S{G_1}}}{{SN}} = frac{{S{G_2}}}{{SM}})

( Rightarrow {G_1}{G_2}//MN).

Mặt khác (MN//AC Rightarrow {G_1}{G_2}//AC).

b) Ta có (left{ begin{array}{l}B in left( {B{G_1}{G_2}} right)\{G_1}{G_2} subset left( {B{G_1}{G_2}} right)\AC subset left( {ABCD} right)\{G_1}{G_2}//ACend{array} right.)

( Rightarrow left( {B{G_1}{G_2}} right) cap left( {ABCD} right) = d//AC//{G_1}{G_2}.)

Bài 2: 

Cho tứ diện đều (ABCD) cạnh (a). Gọi (M,N) lần lượt là trung điểm của (CD) và (AB).

a) Hãy xác định các điểm (I in AC) và (J in DN) sao cho (IJ//BM).

b) Tính (IJ) theo (a).

Hướng dẫn:

a) Trong (left( {BCD} right)), từ (D) kẻ đường thẳng song song với (BM) cắt (BC) tại (K). Nối (K) và (N) cắt (AC) tại (I). Trong (left( {IKD} right)), từ (I) kẻ đường thẳng song song với (DK) cắt (DN) tại (J).

Khi đó (IJ//BM).

b) Do (BM) là đường trung bình của tam giác (CKD) nên (KD = 2BM = 2.frac{{asqrt 3 }}{2} = asqrt 3 ).

Gọi (H) là trung điểm của (BC). Khi đó

(HN//AC Rightarrow frac{{NK}}{{NI}} = frac{{KH}}{{HC}} = frac{{3HC}}{{HC}} = 3)

( Rightarrow NK = 3NI Rightarrow KD = 3IJ)

( Rightarrow IJ = frac{1}{3}KD = frac{{asqrt 3 }}{3}).

Bài 3:

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình thang.Một mặt phẳng (left( alpha  right)) cắt các cạnh (SA,SB,SC) và (SD) lần lượt tại các điểm (M,N,P,Q).

a) Giả sử (MN cap PQ = I), (AB cap CD = E). Chứng minh (I,E,S) thẳng hàng.

b) Giả sử (Delta  = left( {IBC} right) cap left( {IAD} right)) và (Delta  subset left( alpha  right)).

Chứng minh (MQ//NP//AB//CD).

Hướng dẫn:

 

a) Ta có (SE = left( {SAB} right) cap left( {SCD} right))

(I = MN cap PQ Rightarrow left{ begin{array}{l}I in MN subset left( {SAB} right)\I in PQ subset left( {SCD} right)end{array} right.)

( Rightarrow I in left( {SAB} right) cap left( {SCD} right)), hay (I in SE).

b) Do (left{ begin{array}{l}I in left( {IAD} right) cap left( {IBC} right)\AD//BC\AD subset left( {IAD} right)\BC subset left( {IBC} right)end{array} right.)

( Rightarrow left( {IAD} right) cap left( {IBC} right) = Delta //AB//DC,I in Delta )Mặt khác theo giả thiết (Delta  subset left( alpha  right)) nên

(left{ begin{array}{l}Delta  subset left( alpha  right)\BC subset left( {SBC} right)\Delta //BC\left( alpha  right) cap left( {SBC} right) = NPend{array} right. Rightarrow NP//BC//Delta )

Tương tự ta cũng có (MQ//AD//Delta ).

Vậy (MQ//NP//BC//AD//Delta ).

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Đáp án

Khuyễn Mãi Hot

Bài viết hay nhất

Hno3 Loãng Không Tác Dụng Với Kim Loại Nào, Khi Kim Loại Tác Dụng Với Hno3:
Hno3 Loãng Không Tác Dụng Với Kim Loại Nào, Khi Kim Loại Tác Dụng Với Hno3:
Tổng Hợp Các Công Thức Toán Lớp 5, Tổng Hợp Công Thức Toán Tiểu Học
Tổng Hợp Các Công Thức Toán Lớp 5, Tổng Hợp Công Thức Toán Tiểu Học
Khái Niệm Và Công Thức Tính Lực Căng Dây Lớp 10, Vật Lý 10 Công Thức Tính Nhanh
Khái Niệm Và Công Thức Tính Lực Căng Dây Lớp 10, Vật Lý 10 Công Thức Tính Nhanh
Một số bạn đang đua đòi theo lối ăn mặc không lành mạnh không phù hợp với lứa tuổi học sinh hãy nghị luận thuyết phục các bạn ăn mặc sao cho phù hợp – Bài văn mẫu lớp 7 | Lize.vn
20 Đoạn văn viết về Tết bằng tiếng Anh hay & ngắn gọn – Hướng dẫn viết đoạn văn nói về Tết bằng tiếng Anh | Lize.vn
Stt Thả Thính Bằng Môn Lý – Thả Thính Bằng Môn Học Bá Nhất Quả Đất
Stt Thả Thính Bằng Môn Lý – Thả Thính Bằng Môn Học Bá Nhất Quả Đất
Công Thức Tính Chiều Cao Hình Tam Giác Lớp 5, Kiến Thức Trọng Tâm Diện Tích Tam Giác Toán Lớp 5
Công Thức Tính Chiều Cao Hình Tam Giác Lớp 5, Kiến Thức Trọng Tâm Diện Tích Tam Giác Toán Lớp 5
Điện Hóa Trị Là Gì – Điện Hóa Trị Của Kali Trong Kcl Là
Điện Hóa Trị Là Gì – Điện Hóa Trị Của Kali Trong Kcl Là
Câu hỏi trắc nghiệm Atlat Địa lý Việt Nam trang 4, 5 (Có đáp án) – Bài tập trắc nghiệm Atlat Địa lý trang 4, 5 | Lize.vn
Công Thức Tính Cạnh Tam Giác Thường, Và Tam Giác Vuông, Định Lý Cos
Công Thức Tính Cạnh Tam Giác Thường, Và Tam Giác Vuông, Định Lý Cos
Tính Hóa Trị Của Nhóm So3 Hóa Trị Mấy, Brom Hóa Trị Mấy
Tính Hóa Trị Của Nhóm So3 Hóa Trị Mấy, Brom Hóa Trị Mấy
Nacl + H2O Không Màng Ngăn, Điện Phân Dung Dịch Nacl Không Màng Ngăn
Nacl + H2O Không Màng Ngăn, Điện Phân Dung Dịch Nacl Không Màng Ngăn
Công Thức Cấu Tạo Của Glucozo, Glucozơ, Trắc Nghiệm Hóa Học Lớp 12
Công Thức Cấu Tạo Của Glucozo, Glucozơ, Trắc Nghiệm Hóa Học Lớp 12
Nghị luận xã hội 200 chữ bàn về lạc quan – Dàn ý + 10 Bài văn mẫu nghị luận bàn về lạc quan | Lize.vn
Các Công Thức Tính Điện Lượng Lớp 11, Công Thức Vật Lý Lớp 11
Các Công Thức Tính Điện Lượng Lớp 11, Công Thức Vật Lý Lớp 11