Bài 2: Dãy số – Tìm đáp án, giải bài tập, để học tốt

1. Dãy số

Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số

(u:mathbb{N}* to mathbb{R},{rm{ }}n to u(n))

Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên (n):

(u(1),u(2),u(3),…,u(n),…)

– Ta kí hiệu (u(n)) bởi ({u_n}) và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, ({u_1}) được gọi là số hạng đầu của dãy số.

– Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển ({u_1},{u_2},…,{u_n},…) hoặc dạng rút gọn (({u_n})).

2. Cách cho dãy số

Người ta thường cho dãy số theo các cách:

– Cho số hạng tổng quát, tức là cho hàm số u xác định dãy số đó

– Cho bằng công thức truy hồi, tức là:

+ Cho một vài số hạng đầu của dãy

+ Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

– Dãy số (({u_n})) gọi là dãy tăng nếu ({u_n} < {u_{n + 1}}{rm{  }}forall n in mathbb{N}*)

READ:  Luyện tập xây dựng kết bài trong bài văn miêu tả đồ vật

– Dãy số (({u_n})) gọi là dãy giảm nếu ({u_n} > {u_{n + 1}}{rm{  }}forall n in mathbb{N}*)

4. Dãy số bị chặn

– Dãy số (({u_n})) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực (M) sao cho: 

({u_n} < M{rm{ }}forall n in mathbb{N}*).

– Dãy số (({u_n})) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực (m) sao cho: 

({u_n} > m{rm{ }}forall n in mathbb{N}*).

– Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương (M) sao cho: 

(left| {{u_n}} right| < M{rm{ }}forall n in mathbb{N}*).

5. Bài toán về Xác định số hạng của dãy số

Ví dụ 1:

Cho dãy số (({u_n})) được xác định bởi ({u_n} = frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}})

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn:

a) Ta có năm số hạng đầu của dãy

({u_1} = frac{{{1^2} + 3.1 + 7}}{{1 + 1}} = frac{{11}}{2}), ({u_2} = frac{{17}}{3},{u_3} = frac{{25}}{4},{u_4} = 7,{u_5} = frac{{47}}{6})

b) Ta có: ({u_n} = n + 2 + frac{5}{{n + 1}}), do đó ({u_n}) nguyên khi và chỉ khi (frac{5}{{n + 1}}) nguyên hay (n + 1) là ước của 5. Điều đó xảy ra khi (n + 1 = 5 Leftrightarrow n = 4)

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là ({u_4} = 7).

Ví dụ 2:

Cho dãy số (({u_n}))xác định bởi:(left{ begin{array}{l}{u_1} = 1\{u_n} = 2{u_{n – 1}} + 3{rm{  }}forall n ge 2end{array} right.).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Chứng minh rằng ({u_n} = {2^{n + 1}} – 3);

c) Số hạng thứ ({2012^{2012}}) của dãy số có chia hết cho 7 không?

READ:  Tranh vẽ bảo vệ môi trường

Hướng dẫn:

a) Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

({u_1} = 1;)({u_2} = 2{u_1} + 3 = 5); ({u_3} = 2{u_2} + 3 = 13;{rm{ }}{u_4} = 2{u_3} + 3 = 29)

({u_5} = 2{u_4} + 3 = 61).

b) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

– Với (n = 1 Rightarrow {u_1} = {2^{1 + 1}} – 3 = 1 Rightarrow ) bài toán đúng với (N = 1)

– Giả sử ({u_k} = {2^{k + 1}} – 3), ta chứng minh ({u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} – 3)

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:

({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2({2^{k + 1}} – 3) + 3 )

(= {2^{k + 2}} – 3) đpcm.

c) Ta xét phép chia của (n) cho 3

– (n = 3k Rightarrow {u_n} = 2({2^{3k}} – 1) – 1)

Do ({2^{3k}} – 1 = {8^k} – 1 = 7.A vdots 7 Rightarrow {u_n}) không chia hết cho 7

– (n = 3k + 1 Rightarrow {u_n} = 4({2^{3k}} – 1) + 1 Rightarrow {u_n}) không chia hết cho 7

– (n = 3k + 2 Rightarrow {u_n} = 8({2^{3k}} – 1) + 5 Rightarrow {u_n}) không chia hết cho 7

Vậy số hạng thứ ({2012^{2012}}) của dãy số không chia hết cho 7.

6. Bài tập về Dãy số đơn điệu – Dãy số bị chặn

Phương pháp:

– Để xét tính đơn điệu của dãy số (({u_n})) ta xét : ({k_n} = {u_{n + 1}} – {u_n})

+ Nếu ({k_n} > 0{rm{ }}forall n in mathbb{N}* Rightarrow ) dãy (({u_n})) tăng

+ Nếu ({k_n} < 0{rm{ }}forall n in mathbb{N}* Rightarrow ) dãy (({u_n})) giảm.

Khi ({u_n} > 0{rm{ }}forall n in mathbb{N}*) ta có thể xét ({t_n} = frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}})

+ Nếu ({t_n} > 1 Rightarrow ) dãy (({u_n})) tăng

+ Nếu ({t_n} < 1 Rightarrow ) dãy (({u_n})) giảm.

– Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.

READ:  Bài 5.11 trang 15 SBT Vật lí 9 - SBT Vật lý

Ví dụ:

Cho dãy số (({u_n}):left{ begin{array}{l}{u_1} = 2\{u_n} = frac{{{u_{n – 1}} + 1}}{2}{rm{ }}forall n ge 2end{array} right.). Chứng minh rằng dãy (({u_n})) là dãy giảm và bị chặn.

Hướng dẫn:

Ta có: ({u_n} – {u_{n – 1}} = frac{{1 – {u_{n – 1}}}}{2})

Do đó, để chứng minh dãy (un) giảm ta chứng minh ({u_n} > 1{rm{ }}forall n ge 1)

Thật vậy:

Với (n = 1 Rightarrow {u_1} = 2 > 1)

Giả sử ({u_k} > 1 Rightarrow {u_{k + 1}} = frac{{{u_k} + 1}}{2} > frac{{1 + 1}}{2} = 1)

Theo nguyên lí quy nạp ta có ({u_n} > 1{rm{ }},forall n ge 1)

Suy ra ({u_n} – {u_{n – 1}} < 0 Leftrightarrow {u_n} < {u_{n – 1}}{rm{  }}forall n ge 2) hay dãy (({u_n})) giảm

Theo chứng minh trên, ta có: (1 < {u_n} < {u_1} = 2{rm{ }}forall n ge 1)

Vậy dãy (({u_n})) là dãy bị chặn.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Đáp án

Khuyễn Mãi Hot

Bài viết hay nhất

Hno3 Loãng Không Tác Dụng Với Kim Loại Nào, Khi Kim Loại Tác Dụng Với Hno3:
Hno3 Loãng Không Tác Dụng Với Kim Loại Nào, Khi Kim Loại Tác Dụng Với Hno3:
Điện Hóa Trị Là Gì – Điện Hóa Trị Của Kali Trong Kcl Là
Điện Hóa Trị Là Gì – Điện Hóa Trị Của Kali Trong Kcl Là
Tính Hóa Trị Của Nhóm So3 Hóa Trị Mấy, Brom Hóa Trị Mấy
Tính Hóa Trị Của Nhóm So3 Hóa Trị Mấy, Brom Hóa Trị Mấy
Câu hỏi trắc nghiệm Atlat Địa lý Việt Nam trang 4, 5 (Có đáp án) – Bài tập trắc nghiệm Atlat Địa lý trang 4, 5 | Lize.vn
Khái Niệm Và Công Thức Tính Lực Căng Dây Lớp 10, Vật Lý 10 Công Thức Tính Nhanh
Khái Niệm Và Công Thức Tính Lực Căng Dây Lớp 10, Vật Lý 10 Công Thức Tính Nhanh
Cho Các Chất Sau: H3Po4 Là Chất Điện Li Mạnh Hay Yếu, Chất Nào Sau Đây Là Chất Điện Li Yếu
Cho Các Chất Sau: H3Po4 Là Chất Điện Li Mạnh Hay Yếu, Chất Nào Sau Đây Là Chất Điện Li Yếu
Các Công Thức Tính Điện Lượng Lớp 11, Công Thức Vật Lý Lớp 11
Các Công Thức Tính Điện Lượng Lớp 11, Công Thức Vật Lý Lớp 11
Công Thức Cấu Tạo Của Glucozo, Glucozơ, Trắc Nghiệm Hóa Học Lớp 12
Công Thức Cấu Tạo Của Glucozo, Glucozơ, Trắc Nghiệm Hóa Học Lớp 12
Viết đoạn văn kể lại giây phút gặp lại người thân sau bao ngày xa cách kết hợp yếu tố miêu tả và biểu cảm – 7 Bài Văn mẫu lớp 8 hay nhất | Lize.vn
Trong 1 Mol Có Bao Nhiêu Nguyên Tử ? Số Avogadro
Trong 1 Mol Có Bao Nhiêu Nguyên Tử ? Số Avogadro
Kể lại việc em nhận được một món quà bất ngờ trong ngày sinh nhật – Bài văn mẫu lớp 8 | Lize.vn
Công Thức Tính Điện Áp Hiệu Dụng Là Gì, Quan Hệ Giữa Các Điện Áp Hiệu Dụng
Công Thức Tính Điện Áp Hiệu Dụng Là Gì, Quan Hệ Giữa Các Điện Áp Hiệu Dụng
Để Phân Biệt Hcl Và H2So4 Là:, Nêu Cách Nhận Biết Hcl, H2So4, Na2So4
Để Phân Biệt Hcl Và H2So4 Là:, Nêu Cách Nhận Biết Hcl, H2So4, Na2So4
Công Thức Nổ Bỏng Gạo Ngon, Nhớ Lắm Mùa Nổ Bỏng Quê Hương Hải Hậu
Công Thức Nổ Bỏng Gạo Ngon, Nhớ Lắm Mùa Nổ Bỏng Quê Hương Hải Hậu
Công Thức Tính Nguyên Tử Khối Trung Bình, Nguyên Tử Khối
Công Thức Tính Nguyên Tử Khối Trung Bình, Nguyên Tử Khối