Bài 2: Dãy số – Tìm đáp án, giải bài tập, để học tốt

1. Dãy số

Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số

(u:mathbb{N}* to mathbb{R},{rm{ }}n to u(n))

Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên (n):

(u(1),u(2),u(3),…,u(n),…)

– Ta kí hiệu (u(n)) bởi ({u_n}) và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, ({u_1}) được gọi là số hạng đầu của dãy số.

– Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển ({u_1},{u_2},…,{u_n},…) hoặc dạng rút gọn (({u_n})).

2. Cách cho dãy số

Người ta thường cho dãy số theo các cách:

– Cho số hạng tổng quát, tức là cho hàm số u xác định dãy số đó

– Cho bằng công thức truy hồi, tức là:

+ Cho một vài số hạng đầu của dãy

+ Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

– Dãy số (({u_n})) gọi là dãy tăng nếu ({u_n} < {u_{n + 1}}{rm{  }}forall n in mathbb{N}*)

READ:  Bài 107 : Luyện tập - VBT Toán

– Dãy số (({u_n})) gọi là dãy giảm nếu ({u_n} > {u_{n + 1}}{rm{  }}forall n in mathbb{N}*)

4. Dãy số bị chặn

– Dãy số (({u_n})) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực (M) sao cho: 

({u_n} < M{rm{ }}forall n in mathbb{N}*).

– Dãy số (({u_n})) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực (m) sao cho: 

({u_n} > m{rm{ }}forall n in mathbb{N}*).

– Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương (M) sao cho: 

(left| {{u_n}} right| < M{rm{ }}forall n in mathbb{N}*).

5. Bài toán về Xác định số hạng của dãy số

Ví dụ 1:

Cho dãy số (({u_n})) được xác định bởi ({u_n} = frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}})

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn:

a) Ta có năm số hạng đầu của dãy

({u_1} = frac{{{1^2} + 3.1 + 7}}{{1 + 1}} = frac{{11}}{2}), ({u_2} = frac{{17}}{3},{u_3} = frac{{25}}{4},{u_4} = 7,{u_5} = frac{{47}}{6})

b) Ta có: ({u_n} = n + 2 + frac{5}{{n + 1}}), do đó ({u_n}) nguyên khi và chỉ khi (frac{5}{{n + 1}}) nguyên hay (n + 1) là ước của 5. Điều đó xảy ra khi (n + 1 = 5 Leftrightarrow n = 4)

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là ({u_4} = 7).

Ví dụ 2:

Cho dãy số (({u_n}))xác định bởi:(left{ begin{array}{l}{u_1} = 1\{u_n} = 2{u_{n – 1}} + 3{rm{  }}forall n ge 2end{array} right.).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Chứng minh rằng ({u_n} = {2^{n + 1}} – 3);

c) Số hạng thứ ({2012^{2012}}) của dãy số có chia hết cho 7 không?

READ:  Bài 12. Hình vuông - Tìm đáp án, giải bài tập, để học tốt

Hướng dẫn:

a) Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

({u_1} = 1;)({u_2} = 2{u_1} + 3 = 5); ({u_3} = 2{u_2} + 3 = 13;{rm{ }}{u_4} = 2{u_3} + 3 = 29)

({u_5} = 2{u_4} + 3 = 61).

b) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

– Với (n = 1 Rightarrow {u_1} = {2^{1 + 1}} – 3 = 1 Rightarrow ) bài toán đúng với (N = 1)

– Giả sử ({u_k} = {2^{k + 1}} – 3), ta chứng minh ({u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} – 3)

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:

({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2({2^{k + 1}} – 3) + 3 )

(= {2^{k + 2}} – 3) đpcm.

c) Ta xét phép chia của (n) cho 3

– (n = 3k Rightarrow {u_n} = 2({2^{3k}} – 1) – 1)

Do ({2^{3k}} – 1 = {8^k} – 1 = 7.A vdots 7 Rightarrow {u_n}) không chia hết cho 7

– (n = 3k + 1 Rightarrow {u_n} = 4({2^{3k}} – 1) + 1 Rightarrow {u_n}) không chia hết cho 7

– (n = 3k + 2 Rightarrow {u_n} = 8({2^{3k}} – 1) + 5 Rightarrow {u_n}) không chia hết cho 7

Vậy số hạng thứ ({2012^{2012}}) của dãy số không chia hết cho 7.

6. Bài tập về Dãy số đơn điệu – Dãy số bị chặn

Phương pháp:

– Để xét tính đơn điệu của dãy số (({u_n})) ta xét : ({k_n} = {u_{n + 1}} – {u_n})

+ Nếu ({k_n} > 0{rm{ }}forall n in mathbb{N}* Rightarrow ) dãy (({u_n})) tăng

+ Nếu ({k_n} < 0{rm{ }}forall n in mathbb{N}* Rightarrow ) dãy (({u_n})) giảm.

Khi ({u_n} > 0{rm{ }}forall n in mathbb{N}*) ta có thể xét ({t_n} = frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}})

+ Nếu ({t_n} > 1 Rightarrow ) dãy (({u_n})) tăng

+ Nếu ({t_n} < 1 Rightarrow ) dãy (({u_n})) giảm.

– Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.

READ:  Soạn bài Bác ơi - Tố Hữu - Môn Văn

Ví dụ:

Cho dãy số (({u_n}):left{ begin{array}{l}{u_1} = 2\{u_n} = frac{{{u_{n – 1}} + 1}}{2}{rm{ }}forall n ge 2end{array} right.). Chứng minh rằng dãy (({u_n})) là dãy giảm và bị chặn.

Hướng dẫn:

Ta có: ({u_n} – {u_{n – 1}} = frac{{1 – {u_{n – 1}}}}{2})

Do đó, để chứng minh dãy (un) giảm ta chứng minh ({u_n} > 1{rm{ }}forall n ge 1)

Thật vậy:

Với (n = 1 Rightarrow {u_1} = 2 > 1)

Giả sử ({u_k} > 1 Rightarrow {u_{k + 1}} = frac{{{u_k} + 1}}{2} > frac{{1 + 1}}{2} = 1)

Theo nguyên lí quy nạp ta có ({u_n} > 1{rm{ }},forall n ge 1)

Suy ra ({u_n} – {u_{n – 1}} < 0 Leftrightarrow {u_n} < {u_{n – 1}}{rm{  }}forall n ge 2) hay dãy (({u_n})) giảm

Theo chứng minh trên, ta có: (1 < {u_n} < {u_1} = 2{rm{ }}forall n ge 1)

Vậy dãy (({u_n})) là dãy bị chặn.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Đáp án

Khuyễn Mãi Hot

Bài viết hay nhất

Hno3 Loãng Không Tác Dụng Với Kim Loại Nào, Khi Kim Loại Tác Dụng Với Hno3:
Hno3 Loãng Không Tác Dụng Với Kim Loại Nào, Khi Kim Loại Tác Dụng Với Hno3:
Tổng Hợp Các Công Thức Toán Lớp 5, Tổng Hợp Công Thức Toán Tiểu Học
Tổng Hợp Các Công Thức Toán Lớp 5, Tổng Hợp Công Thức Toán Tiểu Học
Stt Thả Thính Bằng Môn Lý – Thả Thính Bằng Môn Học Bá Nhất Quả Đất
Stt Thả Thính Bằng Môn Lý – Thả Thính Bằng Môn Học Bá Nhất Quả Đất
Công Thức Tính Cạnh Tam Giác Thường, Và Tam Giác Vuông, Định Lý Cos
Công Thức Tính Cạnh Tam Giác Thường, Và Tam Giác Vuông, Định Lý Cos
Khái Niệm Và Công Thức Tính Lực Căng Dây Lớp 10, Vật Lý 10 Công Thức Tính Nhanh
Khái Niệm Và Công Thức Tính Lực Căng Dây Lớp 10, Vật Lý 10 Công Thức Tính Nhanh
Một số bạn đang đua đòi theo lối ăn mặc không lành mạnh không phù hợp với lứa tuổi học sinh hãy nghị luận thuyết phục các bạn ăn mặc sao cho phù hợp – Bài văn mẫu lớp 7 | Lize.vn
20 Đoạn văn viết về Tết bằng tiếng Anh hay & ngắn gọn – Hướng dẫn viết đoạn văn nói về Tết bằng tiếng Anh | Lize.vn
Công Thức Tính Chiều Cao Hình Tam Giác Lớp 5, Kiến Thức Trọng Tâm Diện Tích Tam Giác Toán Lớp 5
Công Thức Tính Chiều Cao Hình Tam Giác Lớp 5, Kiến Thức Trọng Tâm Diện Tích Tam Giác Toán Lớp 5
Các Công Thức Tính Điện Lượng Lớp 11, Công Thức Vật Lý Lớp 11
Các Công Thức Tính Điện Lượng Lớp 11, Công Thức Vật Lý Lớp 11
Nghị luận xã hội 200 chữ bàn về lạc quan – Dàn ý + 10 Bài văn mẫu nghị luận bàn về lạc quan | Lize.vn
Bảng Công Thức Sin Cos, Tan, Cot Đầy Đủ, Công Thức Lượng Giác Sin, Cos, Tan, Cot Đầy Đủ
Bảng Công Thức Sin Cos, Tan, Cot Đầy Đủ, Công Thức Lượng Giác Sin, Cos, Tan, Cot Đầy Đủ
Nacl + H2O Không Màng Ngăn, Điện Phân Dung Dịch Nacl Không Màng Ngăn
Nacl + H2O Không Màng Ngăn, Điện Phân Dung Dịch Nacl Không Màng Ngăn
Điện Hóa Trị Là Gì – Điện Hóa Trị Của Kali Trong Kcl Là
Điện Hóa Trị Là Gì – Điện Hóa Trị Của Kali Trong Kcl Là
Công Thức Tính Cạnh Hình Vuông Toán Lớp 3, 4 Nâng Cao, Cách Để Tính Chu Vi Hình Vuông
Công Thức Tính Cạnh Hình Vuông Toán Lớp 3, 4 Nâng Cao, Cách Để Tính Chu Vi Hình Vuông
Công Thức Cấu Tạo Của Glucozo, Glucozơ, Trắc Nghiệm Hóa Học Lớp 12
Công Thức Cấu Tạo Của Glucozo, Glucozơ, Trắc Nghiệm Hóa Học Lớp 12