Bài 18 trang 75 SGK Toán 8 tập 1 – Môn Toán

Đề bài

Chứng minh định lí “Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân” qua bài toán sau: Cho hình thang (ABCD) (left( {AB//C{rm{D}}} right)) có (AC = BD.)

Qua (B) kẻ đường thẳng song song với (AC), cắt đường thẳng (DC) tại (E.) Chứng mình rằng:

a) (∆BDE) là tam giác cân.

b) (∆ACD = ∆BDC.)

c) Hình thang (ABCD) là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

a) (E) thuộc đường thẳng (DC) nên (CE // AB.)

Hình thang (ABEC; (AB // CE)) có hai cạnh bên (AC, BE) song song (giả thiết) ( Rightarrow AC = BE)  (1)  (tính chất hình thang )

Lại có: (AC = BD) (giả thiết)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra (BE = BD) ( Rightarrow Delta BED) cân tại (B) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

b) Ta có (AC{rm{ }}//{rm{ }}BE Rightarrow widehat {{C_1}} = widehat E) (2 góc đồng vị) (3)

(∆BDE) cân tại (B) (chứng minh trên) ( Rightarrow widehat {{D_1}} = widehat E) (4)

Từ (3) và (4) ( Rightarrow widehat {{D_1}} = widehat {{C_1}})

Xét (∆ACD) và ( ∆BDC) có:

+) (AC = BD) (giả thiết)

+) (widehat {{C_1}} = widehat {{D_1}}) (chứng minh trên)

+) (CD) chung

Suy ra (∆ACD = ∆BDC) (c.g.c)

c) Ta có: (∆ACD = ∆BDC) (chứng minh trên)

( Rightarrow widehat {A{rm{D}}C} = widehat {BCD}) ((2) góc tương ứng)

Hình thang (ABCD) có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.